统计 · 数据分析

平均数、中位数和众数

上一节我们说：要描述一组数据的"中心"在哪，得看集中趋势。这一节，我们就来认识集中趋势的三位主角：平均数、中位数、众数。

先猜：你们班数学平均分 $80$ ，是不是说明"大家都在 $80$ 分上下"？不一定。可能一半人 $60$ 、一半人 $100$ ，平均也正好是 $80$ 。

"平均水平"这个词，藏着至少三种不同的算法。这一节我们把它们一次认清。

它们都能代表"一般水平"，但性格很不一样。学会区别它们，你就不会再被一个孤零零的平均数骗到了。

老大：平均数

这是你最熟的老朋友。把所有数加起来，再除以个数。

平均数

一组数据的平均数，等于所有数据之和除以数据的个数。如果数据是 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ，共 $n$ 个，平均数记作 $\bar{x}$ ： $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$

算一个平均数

小明五次数学测验成绩： $82, 90, 76, 88, 94$ 。 $\bar{x} = \frac{82+90+76+88+94}{5} = \frac{430}{5} = 86$ 所以他的平均成绩是 $86$ 分。

平均数的脾气：特别在意每一个数，尤其是极端值（特别大或特别小的数）。 一个超级高分或超级低分，就能把它拉高或拉低。

老二：中位数

把数据按从小到大排好队，排在正中间的那个数，就是中位数。

中位数

把一组数据按从小到大（或从大到小）排列后，处在最中间位置的数，叫做中位数。

如果数据个数是奇数，正中间那一个就是中位数；
如果数据个数是偶数，取最中间两个数的平均数作为中位数。

奇数个：直接取中间

七个人的身高（厘米）： $150, 152, 155, 158, 160, 162, 165$ 。排好队后，正中间是第 $4$ 个： $158$ 。所以中位数是 $158$ 厘米。

偶数个：取中间两个的平均

六个同学的零花钱（元）： $5, 8, 10, 12, 15, 20$ 。中间两个是第 $3$ 、第 $4$ 个： $10$ 和 $12$ 。中位数 $= \frac{10+12}{2} = 11$ （元）。

中位数的脾气：不太怕极端值。 哪怕班里突然来一个身高 $200$ 厘米的巨人，中位数也基本不动，因为它只看"排队排中间的是谁"。

老三：众数

出现次数最多的那个数，就是众数。

众数

一组数据中，出现次数最多的数据，叫做这组数据的众数。

众数可能不止一个，也可能没有

鞋店一天卖出的鞋码： $35, 36, 36, 37, 37, 37, 38, 39$ 。 $37$ 出现了 $3$ 次，最多，所以众数是 $37$ 码——老板该多进 $37$ 码的鞋。

再看一组数： $1, 2, 3, 4$ ，每个都只出现一次，没有"最多"的，所以这组数据没有众数。

特别注意：众数不一定在中央，它只是"最常出现"的那个。而且一组数可以有多个众数（几个数出现次数一样多且都最多），也可以没有众数。

三兄弟，什么时候用谁？

这是最容易考、也最实用的地方。看一张对比表：

代表量	优点	缺点	适合场景
平均数	用到了所有数据	容易被极端值带偏	数据较均匀、无离谱极端值时
中位数	不受极端值影响	没用到全部数据	数据中有特别大/特别小的离群值时
众数	反映"最常见"	可能不止一个或没有	关心"哪种最多"（如畅销尺码）

选错代表量会误导人

某公司 $5$ 个员工的年工资（万元）： $8, 9, 9, 10, 60$ 。

平均数 $= \frac{8+9+9+10+60}{5} = 19.2$ 万
中位数 $= 9$ 万
众数 $= 9$ 万

老板若想显得"待遇好"，会拿平均数 $19.2$ 万说事；但大多数员工其实只拿 $9$ 万左右。这里用中位数或众数，才更接近普通员工的真实感受。

所以看新闻、看广告里的"平均"时，多留个心眼：那个平均数，有没有被一两个极端值悄悄抬高或压低？

跳水比赛为什么去掉最高最低分

跳水、体操打分，常会"去掉一个最高分、一个最低分，再平均"。这其实是在削弱极端值的影响——和用中位数抗干扰是一个思路。裁判怕个别评委打分太离谱，把平均数带偏，所以先砍掉最怪的两个。

一个值得注意的细节

平均数、中位数、众数，不一定相等，也完全可能三个都不同。它们只是从三个不同角度描述"中心"：

平均数：算出来的"重心"；
中位数：排队排出来的"中间"；
众数：数出来的"最常"。

一句话记忆：平均看总和，中位看位置，众数看次数。

三者可能都不在"正中间"

注意，平均数、中位数、众数，三个数不一定重合，甚至可能三个都不一样。

三者各不同

某次小测 $7$ 人得分： $0, 20, 60, 70, 80, 90, 100$ 。

平均数 $= \frac{0+20+60+70+80+90+100}{7} = \frac{420}{7} = 60$ ；
中位数：排好队第 $4$ 个是 $70$ ；
众数：每个数都只出现一次，没有众数。三个代表量，给出了三种不同的"中心"感觉。

所以新闻里说"收入中位数""房价中位数"时，别自动当成"平均数"去理解。政府和大机构常爱报中位数，正是因为中位数不容易被少数富豪"拉高"，更能反映普通人的处境。

一句话收尾：平均数看总和，中位数看排队位置，众数看出现次数。 三个角度，三种真相，缺一都可能被骗。

回过头看

这节课我们认识了集中趋势的三兄弟：

平均数：加起来除以个数，最全面但怕极端值；
中位数：排队取中间，抗干扰、不怕 outlier；
众数：出现最多者，反映"最常见"。

它们没有谁绝对更好，关键看你想回答什么问题。下一节我们会转向另一个角度——数据不止有"中心"，还有"散得开不开"，也就是数据的波动。

本节课你应该能回答的问题

平均数、中位数、众数分别怎么求？各用一句话概括计算方法。
为什么"员工平均工资"有时会被老板拿来误导人？中位数在这里为什么更实在？
一组数据可以有几个众数？可以"没有众数"吗？举例子说明。
偶数个数据时，中位数该怎么取？为什么不是随便挑一个中间的数？