什么是概率？

既然是"可能性的大小"，它总得有个上下限：

• 最小是 $0$：表示不可能发生（机会一点都没有）。
• 最大是 $1$：表示必然发生（机会百分之百）。

中间的，就是各种随机事件。于是我们有了概率的基本范围：

这个 $0$ 到 $1$ 的范围，和我们在什么是随机事件？里说的"可能性小≠不可能、可能性大≠必然"完美对上：只要 $P(A)$ 严格在 $0$ 和 $1$ 之间，就是随机事件。

有些情形，每种结果"机会均等"，概率可以直接数出来。

这类"数个数"的方法，前提是每种结果等可能。如果不等可能（比如上一节那个红多白少的袋子），就不能简单这么数，得看实际占比。

理想硬币、理想骰子是人为造的公平工具。真实世界里很多事没这么"干净"：明天下雨的可能性、某型号灯泡用满三年的可能性——你没法像数骰子面那样直接算。

这时候怎么办？做大量重复试验，看它发生的频繁程度。

频率
0.52 |        ●
0.51 |     ●     ●
0.50 |  ●  ●  ●  ●  ●  ●  ●
0.49 |   ●    ●
0.48 |      ●
     +------------------ 抛掷次数(越多越右)

频率和概率不是一回事，但关系密切：

• 概率是客观存在的"真实倾向"，抛不抛都在那（比如硬币正面概率就是约 $0.5$）。
• 频率是你实际抛出来的结果占比，会随运气起伏；试验越多，频率越靠近概率。

用频率估计概率，有个隐含前提：试验要独立、条件要一致、次数要足够多。

• 如果"重复试验"其实条件变了（今天晴、明天雨，却硬凑在一起算"明天下雨频率"），估计就不可靠。
• 次数太少，频率还不稳定，拿它当概率会出错。抛 $4$ 次硬币可能 $3$ 次正面，频率 $0.75$，但你显然不能因此说"正面概率是 $0.75$"。

所以新闻里常说"根据历史数据估计，某疾病发病率约 $X\%$"——这就是用大量过去的频率，去估计一个概率。它给出的是"大致可靠"的数，不是绝对精确。

光说"频率会稳定"，不如真算一遍。假设我们抛一枚硬币，逐次记录正面出现的频率：

你看：次数少时，频率上蹦下跳（$0.7$ 都来了）；次数越多，它越往 $0.5$ 靠。所以我们用 $0.5$ 作为"正面"概率的估计值。这正是"频率稳定于概率"的活例子。

注意表里每一行的频率都不等于 $0.5$，只是越来越接近。$0.497$ 不是 $0.5$，但已经足够让我们相信：真实概率就是约 $0.5$。

把前面说的收成几条硬规则：

• 范围：$0 \le P(A) \le 1$。
• 不可能：$P(A)=0$ 一定不发生。
• 必然：$P(A)=1$ 一定发生。
• 互斥事件的和：如果 $A$、$B$ 不可能同时发生（比如掷骰子"出 $1$"和"出 $2$"），那么 $P(A\text{或}B)=P(A)+P(B)$。掷骰子出 $1$ 或 $2$ 的概率 $= \frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$。

到这节课，概率这一章就收尾了：

• 概率 $P(A)$ 是衡量随机事件可能性大小的数，范围 $0 \le P(A) \le 1$；
• 等可能情形可直接算（数有利结果占比）；
• 不等可能或未知时，用大量重复试验的频率去估计概率；
• 频率≠概率：频率是试验结果，会波动；概率是客观倾向，频率随试验增多而靠近它。

把这几节连起来看：从"什么事不确定"，到"随机事可能性有大小"，再到"用 $0\sim1$ 的数把大小写下来"——这就是我们认识"不确定性"的完整一步。它和前面统计的部分（收集、整理、用数字描述数据）合在一起，构成了初中"统计与概率"的全貌。