为什么需要负数？

你想买一支笔，价格是 $5$ 元。

出门前，爸爸给了你 $3$ 元。

到了超市，你拿起那支 $5$ 元的笔，走到收银台。

这时你发现钱不够。老板看了看你手里的 $3$ 元，说："还差 $2$ 块钱。"

你只好把笔放回去，回家跟爸爸说："还少 $2$ 块钱。"

我们把这个过程写成算式：

你有 $3$ 元，要付 $5$ 元，结果是多少？

$3 - 5 = ?$

小学老师可能会说："被减数比减数小，不够减。"但是在生活里，这个问题不能说"不算"就解决了——老板已经告诉你"还差 2 块"，你自己也知道"少了 2 块"。

"不够减"的情况在生活里时时刻刻都在发生。我们需要一种数学方式，把"还差多少"准确地表达出来。

让我们回到刚才的场景，看看能不能从已经学会的知识出发，把 $3 - 5$ 拆开算：

第一步，你手里有 $3$ 元。先把这 $3$ 元全部给老板：

$3 - 3 = 0$

好，现在你手里一分钱都没有了。

但是笔要 $5$ 元啊，你只给了 $3$ 元。还差多少？

$5 - 3 = 2$

所以，把 $3$ 元全给完之后，你还欠老板 $2$ 元。

也就是说：

$3 - 5 = 3 - 3 - 2$

前半段 $3 - 3 = 0$，我们会算。后半段：

$0 - 2 = ?$

$0$ 表示什么都没有，$0 - 2$ 表示"从什么都没有里，再拿走 $2$"——这是一种什么样的状态？

我们画一根线，上面标上等距离的刻度：

----0----1----2----3----4----5----

你应该很熟悉这根线的右边部分：$0, 1, 2, 3, 4, 5$，从左往右越来越大。

现在来看 $3 - 5$ 在这根线上是什么意思。

从 $3$ 出发，向左移动。每向左走 $1$ 格，就是减 $1$。

向左走 $3$ 格，到了 $0$：

<--<--<--
----0----1----2----3----4----5----
    ↑
   到这了

但是要减 $5$，还得再向左走 $2$ 格。走到哪里去了？

      <--<--<--<--<--
??----??----0----1----2----3----4----5----
  ↑     ↑
  还得走2格

$0$ 的左边，在我们学过的数里，没有名字。

但是刚才我们已经知道，走到这个位置，对应的是"还差 $2$ 块钱"的状态。

为了让这个位置有名字，我们扩展学过的数：

$0$ 左边第 $1$ 格的位置，记作 $-1$，读作"负 $1$" $0$ 左边第 $2$ 格的位置，记作 $-2$，读作"负 $2$" $0$ 左边第 $3$ 格的位置，记作 $-3$，读作"负 $3$" ……以此类推

现在这根线变成了：

----(-3)----(-2)----(-1)----0----1----2----3----4----5----

$3 - 5$ 的问题就有答案了：从 $3$ 往左移 $5$ 格，落在 $-2$ 的位置。所以：

$3 - 5 = -2$

前面说的"还差 $2$ 块钱"，和数轴上 $-2$ 的位置，说的是同一件事。

有了这些新的数，我们可以正式定义：

$0$ 呢？$0$ 既不是正数，也不是负数。

这里的 $0$，意思不只是"什么都没有"，更重要的是它是分界点：正数在它的右边，负数在它的左边。

在付钱的例子里，$0$ 是"不欠别人，别人也不欠你"的平衡点。 在海拔的例子里，$0$ 是海平面。 在电梯里，$0$ 是地面。

有了负数之后，许多"方向相反"的情境都能精确表达了。

这里有一个约定：**"正"和"负"对应哪个方向，是人为规定的。**比如海拔，我们约定"高于海平面"为正；也可以反过来规定"低于海平面"为正，只要前后一致就行。重要的是两个方向必须分别对应 $+$ 和 $-$，不能混乱。

你可能已经发现了：减法里的 $-$ 和负数里的 $-$，长得一模一样。

但它们的意思不一样：

• 在 $3 - 5$ 里，$-$ 表示"减去"的运算，是一个动作。
• 在 $-2$ 里，$-$ 表示"在 $0$ 的左边"，是这个数本身的身份。

目前你只需要记住：同一个 $-$ 符号，在不同的地方，扮演的角色不同。等到我们学负数运算的时候，这个区别会变得很重要。

这节课我们做的事情，其实是第一次扩展数的范围。

原来的数：$0, 1, 2, 3\ldots$ 以及分数和小数。它们能解决很多问题，但解决不了"$3 - 5$"这种"不够减"的问题。

为了让减法永远有结果，我们扩展了数系，加入了负数。现在，任何两个数相减，都能得到一个确定的结果。

这是一种模式：每当旧的数"不够用了"，我们就会扩展数的范围。以后你还会遇到第二次、第三次扩展。现在你已经走完了第一次。