正数与负数

你可能会觉得：负数是一个客观存在的东西，就像 $3$ 个苹果那样真实。其实不是。

**正数和负数，描述的是"方向相反"的两种量。**而哪边算"正"、哪边算"负"，是人为约定的。

比如海拔：

• 我们约定"高于海平面"为正。
• 那么"低于海平面"就为负。

于是珠峰比海平面高，记作 $+8848$ 米；吐鲁番盆地比海平面低，记作 $-154$ 米。

但注意：这个约定是可以反过来定的。如果某一天我们改口约定"低于海平面"为正，那么吐鲁番就要写成 $+154$ 米，珠峰写成 $-8848$ 米。两种写法都行，只要在一道题、一张表里前后一致，不混乱就行。

所以请记住一句话：

"正"和"负"对应哪个方向，是我们提前说好的规则，不是数本身自带的标签。

有了上面的场景作铺垫，我们可以把上一节里提到的定义再写清楚一点：

有一点要特别提醒：判别式子是正是负，要看它和 $0$ 比，而不是看它有没有负号。

例如 $-\frac{1}{2}$ 带了负号，它是负数；但 $-(-2)$ 这种"负负得正"的情况我们以后才会算，现在先不展开。你只要知道：判断正负，唯一的标准是"比 $0$ 大还是比 $0$ 小"。

回到上一节那根线：

----(-3)----(-2)----(-1)----0----1----2----3----4----5----

$0$ 的位置很特殊。它在中间，左边是负数，右边是正数。

$0$ 既不是正数，也不是负数。它叫非正非负，它单独站在"分界点"上。

为什么我们不把 $0$ 算作"最小的正数"？因为 $0$ 不大于 $0$，它不满足"正数"的定义。而且如果让 $0$ 当正数，那"正、负数"的分界就乱了——$0$ 必须是一个清清楚楚的"中间人"。

在付钱的例子里，$0$ 是"不欠别人，别人也不欠你"的平衡点。 在海拔里，$0$ 是海平面。 在电梯里，$0$ 是地面层。 在温度里，$0$ 是水结冰的刻度。

$0$ 的意义，常常不是"什么都没有"，而是"刚好卡在中间"。

现在看一个有趣的现象。把 $-2$ 和 $2$ 放在一起：

----(-3)----(-2)----(-1)----0----1----2----3----4----5----
                 ↑                    ↑
               -2                    2

它们一个在 $0$ 左边两格，一个在 $0$ 右边两格，到 $0$ 的距离一样，只是方向相反。

记住一个小窍门：

• 求一个数的相反数，就在它前面加一个"$-$"。
• 例如 $5$ 的相反数是 $-5$；$-7$ 的相反数是 $-(-7)=7$（这里先记住结果，规则以后会讲）。

读法很简单：

• $+3$ 读作"正三"，日常里我们常直接读"三"；
• $-2$ 读作"负二"，负号一定要读出来，不能省。

写法上有三个约定：

1. 正号可省。$+5$ 通常写成 $5$，$-5$ 不能写成 $5$。
2. 负号不可省。把 $-3$ 写成 $3$，意思完全反了，是两个不同的数。
3. 带单位的要小心。海拔 $-154$ 米里的"$-$"管的是整个"$154$ 米"，意思是"比海平面低 $154$ 米"，不是"先有 $154$ 米再减"。

一个常见错误：把"盈利 $200$ 元"写成 $-200$。其实要看约定。如果约定"盈利为正"，那盈利 $200$ 应写 $+200$，亏损 $200$ 才写 $-200$。正负永远跟着你开头定好的约定走。

上节说过，"正"和"负"哪个方向，是我们约定的。这带来一个很重要的细节：

同一个现实，换个约定，正负就会反过来。

比如银行存款和欠款：

• 约定"存款为正"：你存 $1000$ 元写 $+1000$，欠银行 $500$ 元写 $-500$。
• 约定"欠款为正"（有些记账本确实这么记）：你欠 $500$ 反而写成 $+500$。

两种都对。所以当你看到一个数带着"$-$"时，别急着说它是"坏的、少的、亏的"——先问一句：这里的 $+$ 和 $-$，分别代表什么方向？

这一节我们做了三件事：

1. 把"正、负"说清楚了：它们是描述相反方向的约定，方向怎么对应是人为定的。
2. 把"正数、负数、$0$"的边界划清了：$0$ 是分界，非正非负，单独站中间。
3. 认识了相反数：一对到 $0$ 距离相等、方向相反的数。

你可能会想：这些和上一节那根"不够减"的线有什么关系？关系很大——上一节我们是为了让减法永远有结果，才把数往 $0$ 左边扩展；这一节，我们给这些新数安了名字、定了规矩。下一节《数轴》里，我们会把这根线正式造出来，并学会用它在图上比大小。