什么叫两个图形完全相同？

美术课上，老师让你剪两个一模一样的小星星贴到海报上。

你用一张纸折成两层，剪一次，得到两颗星。把它们叠在一起，发现：

• 形状一样，都是五角星；
• 大小一样，叠在一起能完全对上；
• 把它们翻来翻去、转一转，也还是对得上。

老师说："这两颗星是全等的。"

可是，如果是你自己随手画的两颗星呢？画完一看，一个胖一点、一个瘦一点——你立刻知道，它们"不完全相同"。

那么，"完全相同"到底靠什么来判断？

我们不用"看起来一样"这种模糊的话，而用一个可以做、可以验证的动作来判断：

把两个图形放到一起，能不能完全重合？

所谓"完全重合"，就是说：你把这个图形移到那个图形上面，每一条边压住每一条边，每一个角压住每一个角，一点缝隙都没有，一点都没有多出来。

如果做得到，我们就说：这两个图形完全相同，或者说它们全等。

如果做不到——比如一个胖一个瘦，或者一个大一个小——那就不全等。

所以，"完全相同"不是靠眼睛感觉，而是靠"能不能重合"这个动作来定义的。

下面两个三角形，形状一样、大小一样，只是放的位置不同：

三角形 A                   三角形 B

      B                          C
     / \                        / \
    /   \                      /   \
   /     \                    /     \
  A-------C                  A-------B

把三角形 A 拿起来，平移一下（不转、不翻，只是挪位置），让它去对三角形 B：

三角形 A 平移后：

      C
     / \
    /   \
   /     \
  A-------B

现在它和三角形 B 完全叠在一起了。所以 A 和 B 全等。

再看下面这两个：

三角形 P                 三角形 Q

      Q                        R
     / \                      / \
    /   \                    /   \
   /     \                  /     \
  P-------R                P-------Q

三角形 P 和 Q 大小一样，但 P "尖"朝上，Q "尖"朝右。这也不影响——你只要把 P 旋转 $90^\circ$，它就和 Q 叠上了。所以它们也全等。

甚至，你照镜子时，镜中的你和真实的你，也是"左右反过来"的。这种"翻转"也不改变"完全相同"：

      X                           X
     /|\                         /|\
    / | \                       / | \
   /  |  \                     /  |  \
  Y---Z---W                   W---Z---Y
  (原图)                      (翻转后)

左图和右图是左右镜像关系。把它们一个翻到背面再叠，也完全重合。这也是全等。

关键点：平移、旋转、翻转（也就是"翻面"），都不改变一个图形"是不是和原来完全相同"。这些动作只改变它"在哪、朝哪"，不改变它的"形状和大小"。

真正能破坏"完全相同"的，是放大、缩小、拉长、压扁——也就是改变了大小或形状。那就不叫全等了。

现在我们可以把这个口语化的"完全相同"写成数学定义：

全等是形状和大小都完全相同的"最高标准"。它比"长得像"要严格得多。

顺便说一句：全等是一种"相等关系"。它满足我们熟悉的几条性质：

• 反身性：一个图形和它自己全等（自己叠自己当然完全重合）；
• 对称性：如果图形甲和图形乙全等，那么乙也和甲全等；
• 传递性：如果甲全等乙、乙全等丙，那么甲也全等丙。

这些性质以后会悄悄帮上忙，尤其是"传递性"。

你可能会问："完全重合"要严丝合缝到什么程度？生活中我们剪两棵小树，可能边上有一点点毛刺，肉眼看着一样，但严格说并不"完全"重合。

数学里的"全等"，是理想化的：我们把图形看成没有厚度、边界绝对光滑的几何对象。所以判断全等时，不要被"手上剪得糙不糙"干扰，只看它的形状和大小时不是真的一模一样。

另外，平移、旋转、翻转都不改变全等；但缩放（放大缩小）会改变。记住这条线：

平移、旋转、翻转 → 全等（保持） 放大、缩小、拉长、压扁 → 不再全等（破坏）

这节课我们做了一件很重要的事：把生活里"一模一样""完全相同"这种模糊的话，变成了一个可以验证的动作——能不能完全重合。

于是，"完全相同"不再靠感觉，而是一个可以操作、可以证明的标准。靠这个标准，我们能把两个图形严丝合缝地比出来。

你可能会想：那两个三角形呢？三角形是最简单的多边形之一，研究"两个三角形是否完全相同"特别有用——因为很多图形（比如四边形）都能拆成三角形。下一节课，我们就专门来看"全等三角形"。