三角形的高、中线和角平分线

你站在顶点 $A$，想在对边 $BC$ 上找一个点，使得 $A$ 到这个点的连线垂直于 $BC$。这条垂直线段，就是 $BC$ 边上的高。

三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。三角形有三条高，分别对应边 $a,b,c$。

画法：以 $BC$ 边上的高为例，从 $A$ 作 $BC$ 的垂线，垂足记作 $D$，那么线段 $AD$ 就是高。高常用小写 $h$ 表示，并注明对应哪条边，比如 $h_a$ 表示边 $a$（即 $BC$）上的高。

   锐角三角形（三条高都在内部）：
        A
        |\
        | \
     h_a|  \
        |   \
        D----C
       B
   高 AD ⊥ BC，D 在 BC 上

一个要注意的坑：高不一定在三角形里面！

• 锐角三角形：三条高都在内部。
• 直角三角形：两条高就是它的两条直角边，另一条在内部。
• 钝角三角形：从钝角顶点作的高在内部，但从两个锐角顶点作的高，垂足落在对边的延长线上，高的一部分在三角形外面。

   钝角三角形（从 B 作 AC 边上的高，垂足 D 在 AC 的延长线上）：
        C
       /|
      / |
     /  |
    A---D------B
        ↑D 在 AC 延长线上，高 BD 的一部分在三角形外

所以"高在三角形里面"只对锐角三角形成立，不能想当然。

这条规矩最简单：从顶点出发，连到对边的中点。

三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线。三角形有三条中线。

画法：找 $BC$ 的中点 $M$（即 $BM = MC$），连接 $A$ 和 $M$，线段 $AM$ 就是边 $a$ 上的中线。

        A
       / \
      /   \
     /  M  \
    B-------C
    中点 M（BM = MC）
   中线 AM 把 BC 平分成两半

中线有个很妙的性质：三条中线交于一点，这个点叫重心。重心有个"杠杆"特性——它把每条中线分成 $2:1$ 两段（顶点到重心 : 重心到中点 $= 2:1$）。这也是为什么吊起一个三角形薄板，在重心处能保持平衡。

这条规矩关于"角"：从顶点出发的射线，把那个顶角平分成两个相等的角，这条射线和对边相交，交点和顶点之间的线段，就是角平分线。

三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线，与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。三角形有三条角平分线。

画法：把 $\angle A$ 平分成两个相等的角（各 $\frac{1}{2}\angle A$），平分线交 $BC$ 于 $E$，线段 $AE$ 就是 $\angle A$ 的角平分线。

        A
       /|\
      / | \
     /  |  \
    B---E---C
   ∠BAE = ∠EAC（被平分）
   角平分线 AE

注意：我们说"三角形的角平分线"指的是线段（从顶点到对边），不是无限长的射线。三条角平分线交于一点，叫内心，它是三角形内切圆的圆心。

它们都从顶点连到对边，但"连的规矩"不同：

        A
       /|\\
      / | \  ← 高(垂直)、中线(到中点)、角平分线(平分角) 从这里分出
     /  |  \
    B---+---C

• 高：看"垂直"，垂足不一定在中点。
• 中线：看"中点"，它不一定要垂直于对边。
• 角平分线：看"平分角"，交点一般既不在中点、也不在垂足。

• 三者都"从顶点出发连到对边"，但只有中线保证交点是对边中点；只有高保证垂直；只有角平分线保证平分角。 别把"垂足""中点""平分点"当成同一个点。
• 高的位置：锐角三角形全在内部；直角三角形的两条高是直角边；钝角三角形有两条高落到对边延长线上（在三角形外）。中线、角平分线则永远在三角形内部。
• 数量与交点：每个三角形都有 $3$ 条高、$3$ 条中线、$3$ 条角平分线。三条高交于垂心，三条中线交于重心，三条角平分线交于内心——这是后话，现在先记住它们都"三条且共点"。

这些"特殊线段"是后面学面积、重心、内切圆的基础。它们把三角形的边、角、顶点更紧密地连在了一起。

这节课我们认识了三角形内部三条重要的线段，它们都从顶点连到对边，但规矩不同：

1. 高：顶点到对边的垂线段（垂直于对边），用于算面积 $S=\frac{1}{2}\text{底}\times\text{高}$；位置因三角形形状而异，钝角三角形的高可能落在外面。
2. 中线：顶点到对边中点的线段，平分对边、也平分面积；三条中线交于重心。
3. 角平分线：平分顶点内角、交对边的线段；三条交于内心。

一句话记法：高看垂直、中线看中点、角平分线看平分角。 记住"垂足、中点、平分点"通常是三个不同的点，就不会混了。