直角三角形中隐藏着什么关系？

你有一块正方形的地砖，边长 $1$ 格。你想知道：沿着这块地砖的对角线走，也就是从一个角走到对角的那个角，要走多长？

你拿尺子比划，发现对角线比边长（1 格）长，但比两条边长加起来（2 格）短。大概在 $1.4$ 格左右。可"大概"不够，我们想要精确的、能证明的答案。

正方形的地砖（边长 1）

  A-----------B
  | \         |
  |   \       |    对角线 AB 比 1 长，比 2 短
  |     \     |
  |       \   |
  D-----------C

这个"对角线有多长"的问题，逼着我们去研究直角三角形三边之间到底有什么关系。

我们先不量长度，而是换一个角度：数面积。想法很巧妙——把每条边当作一个正方形的边长，看看三个正方形面积之间有没有关系。

画一个直角三角形，以它的三条边分别向外作正方形：

            c
      ┌─────────┐
      │ \       │
    b │   \     │     外侧三个正方形：
      │     \   │     边 a 对应面积 a²
      │       \ │     边 b 对应面积 b²
      └─────────┘     边 c 对应面积 c²
      ┌───────┐
    a │       │
      └───────┘

（这里 $c$ 是斜边，最长；$a$、$b$ 是两条直角边。）

关键观察：正方形的面积等于边长的平方。所以"比较边长的平方"，等价于"比较正方形的面积"。

现在，神奇的事出现了。无论你画多大的直角三角形，以两条直角边为边的两个小正方形，它们的面积之和，刚好等于以斜边为大边的那个大正方形的面积。

也就是说：$a$ 正方形 + $b$ 正方形 = $c$ 正方形。

取一个最熟悉的直角三角形：两条直角边分别是 $3$ 格和 $4$ 格，斜边是 $5$ 格（你可以用方格纸实际量一下斜边确实是 $5$）。

以每条边作正方形，数格子（面积）：

  边长为 4 的正方形        直角边 3 和 4，斜边 5
  ▢▢▢▢                    ┌─────────┐
  ▢▢▢▢        边 a=3 →     │ \       │ 边 c=5
  ▢▢▢▢        面积 3²=9    │   \     │ 面积 5²=25
  ▢▢▢▢                    │     \   │
                          └─────────┘
  边长为 3 的正方形          ▲
  ▢▢▢                        │
  ▢▢▢        边 b=4 →        │ 边 b=4
  ▢▢▢        面积 4²=16       │ 面积 16

算一下：

• 小正方形面积：$3^2 = 9$；
• 另一个小正方形面积：$4^2 = 16$；
• 两个加起来：$9 + 16 = 25$；
• 斜边上的大正方形面积：$5^2 = 25$。

竟然相等！$9 + 16 = 25$，正好是 $3^2 + 4^2 = 5^2$。

这不是巧合。你换一个直角三角形再数，比如直角边 $1$ 和 $1$，斜边是 $\sqrt{2}$：$1^2+1^2=2=(\sqrt{2})^2$，也对。再比如直角边 $5$ 和 $12$，斜边 $13$：$25+144=169=13^2$，还是对。

你可能会问：是不是所有三角形都有这个关系？我们来试一个"不是直角"的三角形，比如三边是 $2$、$3$、$4$ 的三角形。

数一数（或者算一算）：

• $2^2 = 4$
• $3^2 = 9$
• $4^2 = 16$

两短边的平方和：$4 + 9 = 13$，而最长边的平方是 $16$。$13 \neq 16$。

所以，普通三角形没有 $a^2+b^2=c^2$ 这个关系。这个漂亮的平方等式，是直角三角形专属的秘密。也正因如此，下一节课的定理才会特意强调"在直角三角形中"。

这也给了我们一个"反过来用"的思路：如果三边满足 $a^2+b^2=c^2$，那它一定是直角三角形。这条反过来用的判定，以后也会很有用。

  不是直角的三角形（2,3,4）

       · 4²=16
      /|
     / | 3²=9
    /  |
   ·---·
    2²=4

  4 + 9 = 13 ≠ 16  →  不满足 a²+b²=c²

经过上面几个例子，我们隐隐约约看到了一条规律：

在直角三角形里，两条直角边的平方和，等于斜边的平方。

用字母写就是：

$a^2 + b^2 = c^2$

其中 $c$ 是斜边（最长边），$a$、$b$ 是两条直角边。

注意：这个等式只对直角三角形成立。普通三角形没有这个关系（下一节课我们会正式证明它，并说明为什么必须是直角三角形）。

这节课我们没有背任何公式，而是用"数正方形面积"的办法，自己发现了直角三角形里藏着的秘密：两条直角边上的正方形面积之和，等于斜边上的正方形面积。翻译成代数语言，就是

$a^2 + b^2 = c^2$

其中 $c$ 是斜边（最长边），$a$、$b$ 是两条直角边。

这个关系只在直角三角形里成立。下一节课，我们会把这个"发现"正式命名为勾股定理，并看懂它的证明——为什么这个等式一定对，而不只是"数格子数出来的巧合"。