全等三角形

你有两把一模一样的三角尺，都是 $30^\circ\text{-}60^\circ\text{-}90^\circ$ 的那种。

你把它们叠在一起，尖对尖、边对边，发现严丝合缝。这两把尺"完全相同"。

现在你把它们随便摆开，一个正放、一个转了个角度：

三角尺 A                     三角尺 B

      C                            R
     /|                           /|
    / |                          / |
   /  |                         /  |
  A---B                       Q----P

你一眼知道它们是"同一款"，可是要跟别人说清楚，得给它们起名字、讲明白"哪个角对应哪个角、哪条边对应哪条边"。

这就需要一套记法和约定。

两个三角形全等，我们用符号 $\cong$ 表示（读作"全等于"）。

比如，左边那个三角形叫 $\triangle ABC$，右边那个叫 $\triangle PQR$。我们说它们全等，就写成：

$\triangle ABC \cong \triangle PQR$

这里有个特别重要的约定，很多人一开始会忽略：

写 $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ 时，字母的顺序不是随便排的。第一个三角形的第 $1$ 个字母 $A$，对应第二个三角形的第 $1$ 个字母 $P$；第 $2$ 个字母 $B$ 对应 $Q$；第 $3$ 个字母 $C$ 对应 $R$。

也就是说，这个写法本身就告诉我们：

• 顶点 $A$ 和顶点 $P$ 是对应顶点；
• 顶点 $B$ 和顶点 $Q$ 是对应顶点；
• 顶点 $C$ 和顶点 $R$ 是对应顶点。

如果写成 $\triangle ABC \cong \triangle RQP$，意思是另一个对应关系了——$A$ 对应 $R$、$B$ 对应 $Q$、$C$ 对应 $P$。所以顺序写错，对应关系就全乱了。

小提醒：当你要写两个三角形全等时，先把它们"重合"的样子在脑子里摆好，然后按对应顶点顺序写字母。

在 $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ 中，既然顶点一一对应，那么：

对应角（顶点处的角）也一一相等：

$\angle A = \angle P, \quad \angle B = \angle Q, \quad \angle C = \angle R$

对应边（连接对应顶点的边）也一一相等：

$AB = PQ, \quad BC = QR, \quad CA = RP$

我们可以用一幅图来帮助理解对应关系：

△ABC                            △PQR

      C                              R
     /|\                           /|\
    / | \                         / | \
   /  |  \                       /  |  \
  A---+---B                     Q---+---P
      |                              |
   对应顶点对：                    对应顶点对：
   A ↔ P                          B ↔ Q
   B ↔ Q                          C ↔ R
   C ↔ R

虚线示意了"把左边翻到右边、叠上去"时，谁和谁压在一起。

怎么找对应顶点？ 一个好用的办法是看相等的角：大角对大角，小角对小角。如果两个三角形全等，那么度数相同的角一定是对应角，它们所对的边也一定是对应边。

这条性质是"完全重合"的直接结果：能重合，就说明每一条边、每一个角都压在一起，自然相等。

反过来想一想：如果两个三角形对应边都相等、对应角也都相等，那它们当然能完全重合——所以"边角全相等"和"全等"其实是一回事。

要注意区分"对应边"和"相等的边"：

• 两个三角形里，可能有两条边长度恰好相等，但它们不一定是对应边。比如 $\triangle ABC$ 里 $AB=5$，$BC=5$，这两条边相等，但它们不是"对应"关系，而是同一个三角形内部的两条边。
• "对应边相等"专指：把两个三角形重合时，压在一起的那对边。

另外，对应顶点一定要找对。一旦写 $\triangle ABC \cong \triangle PQR$，就不要再问"$A$ 对应谁"——答案已经写在顺序里了，是 $P$。如果顺序写反了，比如写成 $\triangle ABC \cong \triangle QRP$，那对应的就是 $A\leftrightarrow Q$、$B\leftrightarrow R$、$C\leftrightarrow P$，整张对应关系表都会变。

这节课我们给了"两个三角形完全相同"一套精确的说法：

• 叫它全等，记作 $\cong$；
• 用字母顺序表达对应关系，顺序不能乱写；
• 由全等直接得到最重要的性质：对应边相等、对应角相等。

这套说法看着简单，却是后面所有"全等判定"的基础。下一节课，我们会问一个更实际的问题：要证明两个三角形全等，难道每次都要把六对东西（三边三角）逐一比一遍吗？有没有更省事的办法？答案就是那些判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）。