图形与几何 · 三角形

全等三角形的判定

上节课我们学到：如果两个三角形全等，那么对应边相等、对应角相等。也就是说，全等 ⇒ 六对（三边三角）都相等。

但你一定也想到另一个问题了：要证明两个三角形全等，难道每次都要把六对东西逐一量一遍吗？那也太麻烦了。

其实不用。数学家发现：只要满足某些"最少的条件"，两个三角形就一定全等。这些条件叫做全等三角形的判定定理。今天我们就把它们一个一个搞清楚。

先想清楚：判定和性质的差别

性质（上节课）：已知全等 ⇒ 边角都相等。这是"结果推结果"。
判定（本节课）：已知某些边角相等 ⇒ 推出全等。这是"条件推结论"。

判定定理告诉我们：最少需要哪些条件，就足以保证两个三角形完全相同。

一个三角形由"三条边、三个角"这六个元素决定。我们要问：其中哪几个，就能唯一锁定一个三角形？

SSS：三边对应相等

先从最直觉的开始：如果两个三角形的三条边都一样长，它们是不是一定"完全相同"？

答案是肯定的。

SSS（边边边）

如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

简记：三边对应相等 ⇒ 全等（SSS）。

为什么？想象你用三根固定长度的木条钉成一个三角形，无论你怎么摆，得到的形状是唯一确定的——三角形具有稳定性，不会变形。所以三边定了，三角形就定死了，两个这样的三角形必能重合。

用 SSS 判定

已知 $AB=DE=5$ ， $BC=EF=6$ ， $CA=FD=7$ 。

三条边都对应相等，所以 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ （SSS）。

注意字母顺序： $A\leftrightarrow D$ 、 $B\leftrightarrow E$ 、 $C\leftrightarrow F$ ，由你写全等式时的对应关系决定。

SAS：两边及其夹角对应相等

如果只知道两条边相等，三角形还能变形（比如剪刀张开的角度可变）。所以光"两边相等"不够。但如果再固定这两边的夹角，形状就锁死了。

SAS（边角边）

如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

简记：两边及其夹角对应相等 ⇒ 全等（SAS）。

这里要强调一个字：夹角。必须是这两边的那个公共角。如果不是夹角，而是其中一边的对角，就不一定行了（那个留到后面再说）。

用 SAS 判定

已知 $AB=DE=4$ ， $AC=DF=3$ ，且夹角 $\angle A=\angle D=50^\circ$ 。

两边 $AB,AC$ 及其夹角 $\angle A$ 都对应相等，所以 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ （SAS）。

      C                              F
     / \                            / \
    /   \                          /   \
   / 50°\                        / 50°\
  A-----B                      D-----E
   AB=4, AC=3                   DE=4, DF=3

ASA：两角及其夹边对应相等

如果知道两个角，第三个角也就定了（三角形内角和 $180^\circ$ ）。再固定这两个角的公共边，整个三角形就唯一了。

ASA（角边角）

如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

简记：两角及其夹边对应相等 ⇒ 全等（ASA）。

这里的"夹边"，是指这两个角的公共边。

用 ASA 判定

已知 $\angle A=\angle D=40^\circ$ ， $\angle B=\angle E=60^\circ$ ，且夹边 $AB=DE=5$ 。

两个角及其夹边都对应相等，所以 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ （ASA）。

（顺便算一下：第三个角 $\angle C=180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ$ ，自然也等于 $\angle F$ 。）

AAS：两角及其中一角的对边对应相等

ASA 说的是"两角夹边"。那如果给的是"两角"和"其中一角的对边"（不是夹边），行不行？

行。因为两个角定了，第三个角也定了，于是那条边实际上就成了"另两个角的夹边"——所以本质上还是 ASA 的情况。

AAS（角角边）

如果两个三角形的两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

简记：两角及一角的对边对应相等 ⇒ 全等（AAS）。

用 AAS 判定

已知 $\angle A=\angle D=40^\circ$ ， $\angle B=\angle E=60^\circ$ ，且 $\angle B$ 的对边 $AC=DF=4$ 。

两个角及其中一角（ $\angle B$ ）的对边对应相等，所以 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ （AAS）。

小提醒：AAS 和 ASA 的区别只在"给的边是夹边还是对边"。两个角 + 任意一条边（夹边或对边），都能判定全等。

HL：直角三角形专属

直角三角形有一个角是直角 $90^\circ$ 。既然直角是"自带"的、两边一定相等（都是 $90^\circ$ ），所以普通三角形的 ASA、AAS 在直角三角形中往往自动满足一部分。针对直角三角形，有一个专属判定：

HL（斜边直角边）

在两个直角三角形中，如果斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

简记：直角三角形斜边+一条直角边对应相等 ⇒ 全等（HL）。

为什么叫 HL？H 是 Hypotenuse（斜边），L 是 Leg（直角边）。

用 HL 判定

已知 $\triangle ABC$ 与 $\triangle PQR$ 都是直角三角形（ $\angle C=\angle R=90^\circ$ ），斜边 $AB=PQ=10$ ，直角边 $AC=PR=6$ 。

斜边与一条直角边对应相等，所以 $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ （HL）。

     B                            Q
     |\                           |\
     | \                          | \
   6 |  \ 10                    6 |  \ 10
     |   \                        |   \
     C----A                      R----P

注意：HL 只适用于直角三角形。普通三角形没有"斜边"这种说法，也就不能用 HL。

一张速查表

把五个判定放在一起，方便你对照：

判定    需要的条件                    适用对象
---------------------------------------------------
SSS     三边对应相等                  任意三角形
SAS     两边及其夹角对应相等          任意三角形
ASA     两角及其夹边对应相等          任意三角形
AAS     两角及一角的对边对应相等      任意三角形
HL      斜边+一条直角边对应相等      仅直角三角形

一个常见的"陷阱"：SSA（两边及一边的对角）一般不能判定全等。因为给定两边和一个非夹角，三角形可能画出两种不同的形状（想象固定两边，转动其中一边，可能有两个不同的交点）。所以别把 SSA 当成判定定理。

实例综合

选择正确判定

下面哪种条件不能保证两个三角形全等？

A. 三边对应相等（SSS）✓ 可以
B. 两边及夹角对应相等（SAS）✓ 可以
C. 两边及一边的对角对应相等（SSA）✗ 一般不行
D. 两角及夹边对应相等（ASA）✓ 可以

答案是 C。记住：SSA 不是判定定理。

直角三角形判定

两个直角三角形，斜边都是 $13$ ，一条直角边都是 $5$ 。满足 HL，所以它们全等。由全等性质，另一条直角边也相等： $\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$ 。

回过头看

这节课我们绕开了"逐一比六对"的笨办法，学会了用最少条件判定全等：

任意三角形：SSS、SAS、ASA、AAS；
直角三角形：再加上 HL。

记住两个关键点：

顺序和"夹角/夹边"很重要。SAS 要的是夹角，ASA 要的是夹边，别给错了位置。
SSA 不能判定全等——这是很多人会踩的坑。

这五个判定，是你以后证明线段相等、角相等、甚至证明其他图形性质时最核心的工具。用好它们，"说明两个东西一模一样"就不再是难事。

本节课你应该能回答的问题

"判定"和"性质"有什么不同？为什么我们需要判定定理？
SSS、SAS、ASA、AAS 分别需要哪几个条件？SAS 和 ASA 里的"夹"字为什么重要？
HL 是什么的缩写？它为什么只能用于直角三角形？
为什么 SSA（两边及一边的对角）一般不能判定全等？你能想象一个"画出两种形状"的情形吗？