平面直角坐标系

想象你站在一张巨大的透明玻璃板上，玻璃上画着一条横线、一条竖线，两条线在正中间交叉。

你的朋友想准确告诉你："我在玻璃板上的哪个位置。"

如果只有横线，你只能说"我在横线往上 $3$ 格"——但左右没说清。如果只有竖线，你只能说"我在竖线往右 $2$ 格"——但上下没说清。

只有一条线，只能定一个方向的位置；要定平面上的位置，需要两条互相垂直的线当参照。

这就是坐标系的核心想法：用两条交叉的线当"坐标尺"，一个管左右，一个管上下。

在平面上，我们画两条互相垂直的直线（也就是夹角是 $90^\circ$），它们相交于一点。

              y 轴（竖直）
                ↑
                |
                |
                |
   -------------+------------→ x 轴（水平）
                |
                |
                |
                |

• 水平的那条，叫 $x$ 轴（也叫横轴）；
• 竖直的那条，叫 $y$ 轴（也叫纵轴）；
• 它们交叉的那个点，叫做原点，记作 $O$。

约定：水平向右为 $x$ 轴正方向，竖直向上为 $y$ 轴正方向。原点 $O$ 相当于两个轴的"零点"，就像数轴上 $0$ 的位置。

有了这个"十字坐标尺"，平面上任何一个点，都能用一对数 $(x,y)$ 来标记——这正是上节课"有序数对"的升级版：这里的两个数，不再是"排和列"，而是"到 $y$ 轴的水平距离"和"到 $x$ 轴的竖直距离"。

$x$ 轴和 $y$ 轴把整个平面分成了四块，像切蛋糕一样。我们从右上角开始，按逆时针方向给它们编号：

         y 轴
          ↑
   第二象限  |   第一象限
   (x<0,y>0)|  (x>0,y>0)
  ----------+----------→ x 轴
   第三象限  |   第四象限
   (x<0,y<0)|  (x>0,y<0)
          ↓

• 第一象限：右上方，$x>0$ 且 $y>0$；
• 第二象限：左上方，$x<0$ 且 $y>0$；
• 第三象限：左下方，$x<0$ 且 $y<0$；
• 第四象限：右下方，$x>0$ 且 $y<0$。

小细节：坐标轴上的点（在 $x$ 轴或 $y$ 轴上）不属于任何象限。象限只指那四块"内部区域"。原点 $(0,0)$ 在两条轴上，自然也不属于任何象限。

动手画一个平面直角坐标系，步骤很简单：

1. 画一条水平的直线，标上箭头向右，写上 "$x$"，这就是 $x$ 轴；
2. 画一条竖直的直线，标上箭头向上，写上 "$y$"，这就是 $y$ 轴；
3. 让两线在中间相交，交点标上 "$O$"，这就是原点；
4. 在 $x$ 轴上，原点右边标正数、$O$ 左边标负数；在 $y$ 轴上，原点上方标正数、下方标负数；
5. 两轴把平面分成四块，按逆时针从右上开始标上一、二、三、四象限。

              y 轴（向上为正）
               ↑
      第二象限 | 第一象限
       (x<0)  |  (x>0)
   ───────────O──────────→ x 轴（向右为正）
      第三象限 | 第四象限
       (x<0)  |  (x>0)
               ↓

小提醒：轴上是可以往负方向延伸的。也就是说，坐标系不仅管"右上方"的正区域，也管"左下方"的负区域。这一点下一节课写点的坐标时会直接用到——点的坐标可以是负数。

下面把四个象限连同坐标轴上的符号规律，整整齐齐列出来：

              y 轴
               ↑
   二(x-,y+)  |  一(x+,y+)
   ----------O----------→ x 轴
   三(x-,y-)  |  四(x+,y-)
               ↓

  象限    横坐标 x    纵坐标 y
  一        +           +
  二        -           +
  三        -           -
  四        +           -
  x轴      任意          0
  y轴       0           任意

记住这张表很有用：看到坐标符号，立刻就能说出它在哪一块；反过来，说"在第二象限"，你就知道 $x$ 必为负、$y$ 必为正。

象限的编号顺序是个容易记错的点：它是从**右上角（第一象限）**开始，逆时针数的。很多人会误以为按"从左到右、从上到下"排。记住：第一在右上，然后逆时针转——第二在左上，第三在左下，第四在右下。

另外，$x$ 轴是横的（左右方向），$y$ 轴是竖的（上下方向）。别把"横轴是 $x$"和"竖轴是 $y$"记反了，这在后面写坐标时会非常重要。

这节课我们把上节课的"座位格子"升级成了连续平面上的坐标尺：

• 画两条互相垂直的数轴 → $x$ 轴（横）、$y$ 轴（竖）；
• 交点叫原点 $O$；
• 两轴把平面分成四个象限，从右上逆时针编号；
• 坐标轴上的点不属于任何象限。

现在，平面上每一个位置都有了自己的"地址"框架。下一节课，我们就要具体学习：给定一个点的位置，怎么写出它的坐标 $(x,y)$；反过来，给定一个坐标 $(x,y)$，怎么在图上找到它。也就是点的坐标。