什么是一次函数？

你还记得这两个例子吗？

• 打车计价：车费 $y = 10 + 2x$（$x$ 是公里数）；
• 匀速骑车：路程 $s = 60t$（$t$ 是时间）。

把它们都写成"$y$ 等于什么乘 $x$、再加什么"的样子：

$y = 2x + 10$ $y = 60x + 0$

你看出共同点了吗？它们全都是：

$y = (\text{某个常数}) \times x + (\text{某个常数})$

这就是一次函数的模样。

为什么要求 $k \neq 0$？因为如果 $k = 0$，式子就变成 $y = 0 \cdot x + b = b$——$y$ 恒等于一个常数，根本不随 $x$ 变化，那就退化成"常值"，不再是"一次"函数了。所以 $k \neq 0$ 是它作为一次函数的底线。

"一次"这个名字，来自式子中 $x$ 的最高次数是 1（$x$ 就是 $x^1$，不会出现 $x^2$、$x^3$）。

一次函数里有两个常数 $k$ 和 $b$，它们的角色完全不同，得分别看。

$k$：决定"变化快慢"和"方向"

$k$ 叫做比例系数。它表示：自变量 $x$ 每增加 $1$，$y$ 就增加 $k$。

• 打车例子 $y = 2x + 10$ 里，$k = 2$：每多坐 $1$ 公里，车费就多 $2$ 元。
• 骑车例子 $s = 60t$ 里，$k = 60$：每多骑 $1$ 小时，路程多 $60$ 千米（这正是速度）。

如果 $k > 0$，$x$ 越大 $y$ 越大（同增）；如果 $k < 0$，$x$ 越大 $y$ 反而越小（一增一减）。$k$ 的正负，决定了函数是"往上走"还是"往下走"。

$b$：决定"起点"在哪里

$b$ 叫做常数项（也常叫截距）。它表示：当 $x = 0$ 时，$y$ 的值就是 $b$。

• 打车例子里 $b = 10$：坐 $0$ 公里（也就是没上车），车费是 $10$ 元——这正是起步价。
• 骑车例子里 $b = 0$：骑 $0$ 小时，路程为 $0$。

所以 $b$ 是函数在"源头"那个位置的值，像是整个关系的"起拍价"。

当 $b = 0$ 时，一次函数变成：

$y = kx \quad (k \neq 0)$

它叫做正比例函数。"正"是"正好成比例"的意思：两个量比值恒定，$y$ 始终是 $x$ 的 $k$ 倍。

匀速骑车 $s = 60t$ 就是正比例函数：$s$ 和 $t$ 的比值永远是 $60$。正方形周长 $C = 4a$（$a$ 是边长）也是——周长永远是边长的 $4$ 倍。圆的周长 $L = 2\pi r$ 同样是正比例（$2\pi$ 是比例系数）。

一句话记住关系：正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 正比例函数要求 $b = 0$，一次函数只要求 $k \neq 0$。

一次函数特别常见，因为很多现实关系都是"先有个底价，再按量累加"：

• 水费：固定月租 $+$ 每吨单价 $\times$ 用水量；
• 工资：底薪 $+$ 每件提成 $\times$ 件数；
• 通讯费：月租 $+$ 每兆流量费 $\times$ 流量。

它们无一例外都是 $y = kx + b$ 的形状。认出这个形状，你就能立刻说出"底价是多少、每多一份贵多少"——这正是 $b$ 和 $k$ 的现实意义。

判断一个式子是不是一次函数，先看它是不是能化成 $y = kx + b$ 且 $k \neq 0$。有些式子会"伪装"：

• $y = \dfrac{2x + 1}{3}$ 看起来有分数，但拆开是 $y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{3}$，仍是一次函数（$k = \frac{2}{3}$，$b = \frac{1}{3}$）。
• $y = x^2 + 1$ 里有 $x^2$，最高次是 $2$，不是一次函数。
• $y = \frac{1}{x}$ 里 $x$ 在分母，相当于 $x^{-1}$，也不是。

所以关键看化简后 $x$ 的最高次是不是 $1$、且系数非零。

这节课我们认识了函数家族里最重要的一支：

• 一次函数：$y = kx + b\;(k \neq 0)$；
• $k$ 管"变化快慢和方向"，$b$ 管"起点"；
• 当 $b = 0$ 时退化为正比例函数 $y = kx$，是它最对称的特例。

你可能会问：这种函数画出来长什么样？$k$ 和 $b$ 在图上又对应什么？这正是下一节课 一次函数的图象 要解决的——我们会发现，它们全都是直线。