什么是函数？

打车计价的例子里，我们说：公里数 $x$ 定了，车费 $y$ 就唯一确定地跟着定下来。

"唯一确定"这四个字是灵魂。它有两个意思：

• "确定"：给定 $x$，$y$ 不会没有着落，总能算出来一个；
• "唯一"：同一个 $x$，算出来的 $y$ 只能是一个，不能一会儿 $16$、一会儿 $18$。

只要满足这条，我们就说 $y$ 是 $x$ 的函数。

现在把它说得更数学一点。

注意定义里的两个关键词，一个都不能少：

• "每一个"：不是"某些"，而是自变量能取的每一个值，都得有着落；
• "唯一"：每个自变量值，只能对应一个因变量值。

如果某个 $x$ 对应了两个或更多 $y$，那它不是函数。如果某个 $x$ 什么 $y$ 都没有，那它在函数的"允许范围"之外（见下面的定义域）。

要完整地描述一个函数，需要说清三件事：

三要素合起来：定义域（能喂什么）+ 对应法则（怎么变）+ 值域（吐出什么）。

看打车例子：定义域是 $x \ge 0$（公里数不能是负数）；对应法则是 $y = 10 + 2x$；值域是 $y \ge 10$（车费至少起步价）。三样齐了，函数才算说清楚。

现实约束常常决定定义域。比如"人数"不能是负数也不能是小数，"时间"通常从 $0$ 开始。这些要在定义域里体现出来。

数学里我们常用一个专门的记号表示函数。比如车费函数，可以写成：

$f(x) = 10 + 2x$

这里的 $f$ 是函数的名字（也可以叫 $g$、$h$），括号里的 $x$ 是自变量。$f(3)$ 表示"把 $x = 3$ 喂进去算出来的结果"：

$f(3) = 10 + 2 \times 3 = 16$

所以 $f(3) = 16$ 的意思就是："当公里数是 $3$ 时，车费是 $16$ 元"。这就是上节课那张对应表里的一行。

为了守住定义，我们看一个"卡在唯一性上"的例子。

考虑关系 $y^2 = x$（比如 $x = 4$ 时，$y$ 可以是 $2$ 也可以是 $-2$）。

同一个 $x = 4$，对应了两个 $y$。这违反了"唯一确定"，所以 $y$ 不是 $x$ 的函数。（注：反过来 $x = y^2$ 时，$x$ 是 $y$ 的函数，因为给定 $y$ 只算出一个 $x$——方向很重要。）

这个例子提醒我们：判断函数，紧盯"一个输入是否只对应一个输出"。

把自变量放横轴、因变量放纵轴，画成一组点。判断图象是不是函数，有个超好用的招：

垂线检验：随便画一条竖直线，如果它和图象最多只交于一个点，那就是函数；如果某条竖线穿过了两个点（说明同一个 $x$ 对应两个 $y$），那就不是函数。

不是函数：              是函数：
   y                     y
   │   ●                 │      ●
   │  /                  │    /
   │ ●                   │  /
   └────── x             │/
        ↑ 一条竖线         └────── x
        穿过两个点              最多一个点

$f(x)$ 里的 $f(x)$ 整体就是 $y$ 的另一种写法，不是"$f$ 乘 $x$"。$f$ 是函数名，括号表示"代入"。很多同学一开始会误读成乘法，记住了能省掉好多 confusion。

另外，定义域往往来自现实限制，不能想当然取所有实数。比如"班级人数 $n$ 与总学费"里，$n$ 只能是正整数；"正方形边长 $a$ 与面积"里，$a > 0$。定义域错了，整个函数就描述错了情境。

这节课我们把直觉固化成了定义：

对于自变量 $x$ 的每一个允许的值，因变量 $y$ 都有唯一确定的值与之对应——这就是函数。

你新认识的三个词——定义域、对应法则、值域，以及记号 $f(x)$——会陪你走完整个函数单元。下一章 什么是一次函数？，我们就从一个最重要、最常见的具体函数家族开始：图象是直线的那一类。