变量之间有什么关系？

看这个熟悉的打车例子（起步价 $10$ 元，每公里 $2$ 元）：

$\text{车费} = 10 + 2 \times \text{公里数}$

在这件事里：

• 公里数一直在变：你坐 $1$ 公里、 $3$ 公里、 $10$ 公里都行；
• 车费也跟着变：坐得越远，付得越多；
• 可是 $10$ 元和 $2$ 元/公里从头到尾没变过——这是出租车公司定死的价。

于是我们有了定义：

在打车例子里，$10$ 和 $2$ 是常量；公里数和车费是变量。

小提醒：一个量是常量还是变量，得看"在哪个情境里"。比如"速度"，在打车计价里它是常量（由单价决定）；但在"看红绿灯时快时慢"的真实开车里，它又是变量。所以别死记，要看具体过程。

变量之间最常见的联系，是依赖关系：一个量变了，会带着另一个量变。

我们再看两个你熟悉的过程。

依赖关系最直观的呈现方式，就是一张"给定一个，算出另一个"的表。比如路程那个例子：

t（小时）   1      2      3      4
─────────────────────────────────
s（千米）   60    120    180    240

每一行都在说同一件事：$t$ 一动，$s$ 就按 $s = 60t$ 的规则跟着动。这张表，其实就是函数这台"对应机器"的运行记录。

再看气温的表（假设某天数据）：

t（小时）   0      6     12     14     20
──────────────────────────────────────
T（°C）    18     16     26     30     22

注意这张表和路程表不一样：它不一定是"匀速直线"的，但依然满足"给一个 $t$，对应唯一一个 $T$"。这种"一对一定"的依赖，就是函数关系。

把上面几个例子横着比一比，依赖关系大致有几种"走向"：

• 同增：一个变大，另一个也变大。如 $s = 60t$、弹簧 $L = 10 + 2m$。
• 同减：一个变大，另一个反而变小。比如从满电开始，时间越久，手机剩余电量越少。
• 几乎无关：一个变，另一个基本不动。比如"今天穿什么颜色"和"月球离地球多远"，两者没什么稳定联系。

函数研究的主要是前两种——那种"一个确定、另一个就唯一定"的干净依赖。第三种因为找不到稳定的对应规则，一般不在我们讨论范围内。

依赖关系有方向：是 $A$ 跟着 $B$ 变，还是 $B$ 跟着 $A$ 变？弄反了，后面整道题都会反。

判断的小窍门：谁是你"先给定、自由选取"的，谁就是自变量。 比如你打算骑几小时车，是你自己决定的（先给 $t$），路程是被算出来的（后得 $s$），所以 $t$ 是自变量、$s$ 是因变量。反过来问"要走 $120$ 千米需要几小时"，那是把 $s$ 当已知去求 $t$——那是方程的事，不是函数关系的方向变了。

另外，不是所有两个变量之间都有"函数式"的依赖。比如"人的身高"和"今天吃什么"，两者之间没什么稳定的对应关系，那就不是我们研究的对象。函数只关心那种一个定了、另一个就唯一定的干净依赖。

这节课我们给函数关系拆出了零件：

• 常量：过程里纹丝不动的数；
• 变量：过程里会变的量；
• 依赖关系：一个变量（因变量）的值，由另一个变量（自变量）的值唯一决定。

你练的，其实就是一种"观察力"：面对一个真实过程，能指出谁动、谁静、谁跟着谁。这正是通往 什么是函数？ 的台阶——下一节课，我们会把"一个自变量对应唯一一个因变量"这个直觉，写成一句精确的定义，并认识定义域、值域和函数记号这些正式工具。