一次函数的性质

"增减性"说的是：随着 $x$ 变大，$y$ 是跟着变大还是变小。

为什么？因为 $x$ 每增加 $1$，$y$ 就增加 $k$（这是一次函数的本质）。$k$ 是正的，自然是越加越大；$k$ 是负的，加的其实是"负的数"，$y$ 就越变越小。

小提醒：增减性和 $b$ 无关。$b$ 只管起点高低，不管"往哪走"。$y = 100x - 999$ 虽然起点很低，但 $k = 100 > 0$，依然是增函数。

一次函数的图象是直线，它和两条坐标轴各有交点。这两个交点坐标，可以直接用 $k$、$b$ 算出来。

与 $y$ 轴交点：

令 $x = 0$，得 $y = b$。所以交点是：

$(0,\; b)$

这就是上一节课说的：$b$ 是直线与 $y$ 轴交点的纵坐标。

与 $x$ 轴交点：

令 $y = 0$，解 $kx + b = 0$，得 $x = -\dfrac{b}{k}$（$k \neq 0$）。所以交点是：

$\left(-\frac{b}{k},\; 0\right)$

这两个交点特别有用：它们就是"两点法"画图时最常用的两个点（上一节课提过）。而且，$(2, 0)$ 这个 $x$ 轴交点，其实就是方程 $2x - 4 = 0$ 的解——这又把函数和 解方程 连上了：直线与 $x$ 轴交点的横坐标，就是对应一次方程的根。

把前两节课的观察和本节课串起来，$k$、$b$ 在图象上的角色就全了：

 y
   |        /   k>0：向右上倾斜
   |       /    |k| 越大越陡
 b |---●──/------ 直线与 y 轴交于 (0, b)
   |   /
   |   /  k<0：向右下倾斜
   +────────────── x
        (-b/k, 0) 与 x 轴交点

• $k$ 的符号：决定直线往右上（$k>0$）还是右下（$k<0$）倾斜；
• $|k|$ 的大小：决定倾斜的陡缓，$|k|$ 越大越陡；
• $b$ 的值：决定直线与 $y$ 轴交在 $(0, b)$，即整条线竖直平移的"基线"。

直线穿过坐标平面被坐标轴分成的四个象限。一次函数经过哪些象限，完全由 $k$ 和 $b$ 的符号决定：

• $k > 0,\; b > 0$：往右上倾斜，从 $y$ 轴正半轴出发 → 经过一、二、三象限；
• $k > 0,\; b < 0$：往右上倾斜，从 $y$ 轴负半轴出发 → 经过一、三、四象限；
• $k < 0,\; b > 0$：往右下倾斜，从 $y$ 轴正半轴出发 → 经过一、二、四象限；
• $k < 0,\; b < 0$：往右下倾斜，从 $y$ 轴负半轴出发 → 经过二、三、四象限。

小窍门：看 $b$ 的正负就知道直线"从 $y$ 轴哪一半出发"，看 $k$ 的正负就知道"往哪边倒"，两者一组合，经过的象限就出来了。

正比例函数 $y = kx$ 是 $b = 0$ 的特例，所以它一定过原点 $(0,0)$，与 $y$ 轴、$x$ 轴的交点重合在原点。这时它只有"斜率" $k$ 来决定样子，没有"起点"可平移——这也解释了为什么正比例函数是一次函数里最"对称"、最简洁的一种。

另外，两条一次函数直线平行的充要条件，是它们的 $k$ 相等（倾斜方向和陡缓一样），而 $b$ 不同（起点错开）。比如 $y = 2x + 1$ 和 $y = 2x - 3$ 就是两条平行线。若连 $b$ 也相等，那两条直线就完全重合了。

这节课我们把一次函数的"性格"总结成四条：

1. 增减性：$k > 0$ 增函数，$k < 0$ 减函数（和 $b$ 无关）；
2. 交点：与 $y$ 轴交于 $(0, b)$，与 $x$ 轴交于 $(-b/k, 0)$；
3. 几何意义：$k$ 管倾斜方向与陡缓，$b$ 管竖直起点；
4. 象限：经过哪些象限，由 $k$、$b$ 的符号组合决定。

到现在，一次函数这个家族你算是彻底认熟了：从 定义，到 图象，再到 性质，式子、图、性质三者互相印证。它也成了你函数之旅的第一块扎实的基石——之后遇到的二次函数、反比例函数，都会用类似的"看 $k$、看交点、看增减"的思路去研究。