一次函数的图象

回忆函数记号：每一个 $x$ 对应一个点 $(x, y)$。我们取打车函数 $y = 2x + 10$ 的几个点：

x       0      1      2      3      4
─────────────────────────────────────
y =2x+10 10     12     14     16     18
对应点   (0,10) (1,12) (2,14) (3,16) (4,18)

把这些点画到坐标平面上：

 y
18 |                    ● (4,18)
16 |                ● (3,16)
14 |            ● (2,14)
12 |        ● (1,12)
10 |    ● (0,10)
   +───────────────────────── x
    0   1   2   3   4

连起来看——这些点稳稳地排成了一条斜着往右上走的直线。$x$ 每向右走 $1$ 格，$y$ 就向上走 $2$ 格，步调完全一致，所以不可能拐弯，只能是直线。

注意直线是向两端无限延伸的：我们只在图上画了一小段，但它其实往左往右都没有尽头。不过在实际问题里，$x$ 常受现实限制（比如公里数不能为负），那时要按定义域只取其中一段。

既然一次函数的图象一定是直线，而"两点确定一条直线"是几何常识，那么：

画一次函数的图象，只需要找出两个点，连成直线即可。 这叫"两点法"。

怎么选这两个点最省事？最常用的是找它与坐标轴的交点：

• 与 $y$ 轴交点：令 $x = 0$，算出 $y = b$，得到点 $(0, b)$；
• 与 $x$ 轴交点：令 $y = 0$，解出 $x = -\frac{b}{k}$，得到点 $(-\frac{b}{k}, 0)$。

这两个点往往好算，连起来就是整条线。

现在来看 $k$ 在图上对应什么。比较几条线：

 y
   |        /  y = 2x  (k>0, 往右上)
   |       /
   |      / 
   |  ---●--- 参考线
   |    /
   |   /  y = -x (k<0, 往右下)
   |  /
   +────────────── x

• 当 $k > 0$，$x$ 增大 $y$ 也增大，直线从左下往右上倾斜（往上升）；
• 当 $k < 0$，$x$ 增大 $y$ 反而减小，直线从左上往右下倾斜（往下降）；
• $|k|$ 越大，直线越陡；$|k|$ 越小，直线越平缓。

所以 $k$ 的正负管"往哪边斜"，$|k|$ 的大小管"斜得多厉害"。$k$ 就是直线的倾斜程度（斜率）。

再看 $b$。还是用图：

 y
18 |        /  y = 2x + 10  (b=10, 起点高)
   |       /
10 |---●──/---- y = 2x  (b=0, 过原点)
   |   /
   |  /  y = 2x - 4  (b=-4, 起点低)
   +────────────── x

三条线 $k$ 都是 $2$（一样陡、一样方向），区别只在和 $y$ 轴交在哪里：

• $y = 2x + 10$ 交 $y$ 轴于 $(0, 10)$；
• $y = 2x$ 交 $y$ 轴于 $(0, 0)$；
• $y = 2x - 4$ 交 $y$ 轴于 $(0, -4)$。

所以 $b$ 就是直线与 $y$ 轴交点的纵坐标——它把整条直线沿竖直方向整体"平移"了。$b$ 大就整体抬高，$b$ 小（或负）就整体压低。

用"两点法"时，千万别两个点是同一位置，也别靠得太近——否则连线时一点点误差就会被放大，直线画歪。最稳妥的是选 $(0, b)$ 和另一个离它较远的点（比如 $x$ 取 $1$ 或 $2$ 算出的点），两点拉开距离，直线才画得准。

还有，$k$ 决定"方向"、$b$ 决定"起点"这两件事，是分开的：改变 $k$ 会让直线转动（变陡变缓、翻方向），改变 $b$ 会让直线平移（整体上下挪），本身不转动。把这个分开想，后面研究 一次函数的性质 会轻松很多。

这节课我们揭开了一次函数的"长相"：

• 一次函数的图象永远是一条直线；
• 用两点法就能画：最方便取 $(0, b)$ 和与 $x$ 轴交点；
• 图上的 $k$ 管直线的倾斜方向和陡缓，$b$ 管直线与 $y$ 轴交点的高低。

从式子到图，你已经能把 $y = kx + b$ 在脑海里"看见"成一条斜线了。下节课我们把这些观察升级成可陈述的"性质"：增减性、交点坐标、以及 $k$ 和 $b$ 完整的几何意义。