用字母表示数量关系

你去买练习本，每本 $4$ 元。买 $1$ 本花 $4$ 元，买 $2$ 本花 $8$ 元，买 $3$ 本花 $12$ 元……

规律你一眼就看出来了：总价 = 单价 × 数量。

但"买 $100$ 本花多少"你还得算一下。与其每次重算，我们让字母上岗：

• 设单价为 $a$ 元；
• 设买了 $b$ 本；
• 设总价为 $c$ 元。

那么关系就是：

$c = a \times b$

通常数字和字母相乘、字母和字母相乘时，乘号可以省略或写成小圆点，于是写成：

$c = ab$

这一行式子，把所有"买东西算钱"的情况全包了。无论 $a$ 是 $4$ 还是 $7.5$，$b$ 是 $3$ 还是 $100$，只要代进去，就得到对应总价。

关键认识：字母把"具体的数"换成了"会变的量"。关系公式一旦写好，不同的数字只是同一公式的不同填入。

另一个你熟得不能再熟的关系：走路。

• 每小时走 $5$ 千米，走 $2$ 小时，走了 $10$ 千米；
• 每小时走 $5$ 千米，走 $3$ 小时，走了 $15$ 千米。

规律：路程 = 速度 × 时间。

用字母写：

• 速度记作 $v$；
• 时间记作 $t$；
• 路程记作 $s$。

$s = vt$

注意这里的写法：$vt$ 就是 $v \times t$。分数、小数照常代入，字母式子本身不挑数字。

数量关系不一定是乘，也可以是加减。看这个：

爸爸今年 $35$ 岁，你今年 $10$ 岁。爸爸比你大 $25$ 岁。

过了 $5$ 年：爸爸 $40$，你 $15$，还是大 $25$ 岁。 过了 $10$ 年：爸爸 $45$，你 $20$，还是大 $25$ 岁。

**年龄差永远不变。**怎么用字母写？

设"过了 $x$ 年"：

• 爸爸年龄：$35 + x$
• 你的年龄：$10 + x$
• 年龄差：$(35 + x) - (10 + x) = 25$

这里有个漂亮的地方：式子 $(35+x)-(10+x)$ 里，$x$ 被消掉了，结果恒等于 $25$。它告诉我们：不管过多少年，差永远是 $25$。字母帮你把"永远不变"这件事，算得明明白白。

以后你会越来越常用到这些关系。这里先列几个典型的，感受一下"字母怎么替我们说话"：

一眼就能看出来的好处：这些表里的字母式子，比"文字说法"短得多，而且能直接代入计算。这就是用字母表示关系的价值。

用字母时，有两个约定俗成的习惯，能让你和别人"读得懂彼此的式子"：

1. 习惯用某些字母表示某些量。速度常用 $v$（velocity），时间常用 $t$（time），路程常用 $s$，面积常用 $S$，数量、未知数常用 $x, y, n$。不是硬规定，但大家都这么用，你写别人也容易懂。
2. 同一道题里，一个字母一个意思。前面用 $a$ 表示单价，后面就别又让 $a$ 表示数量，否则式子就自相矛盾了。

还有一个书写细节：当数字和字母相乘、字母和字母相乘时，乘号省略（如 $3a, ab$）；但数字和数字相乘，乘号不能省，$3 \times 4$ 不能写成 $34$，那是另一个数。

小提醒：表示"除以"时，通常写成分数形式更清爽。比如"总价除以数量"写成 $\frac{c}{b}$，而不是 $c \div b$。两种都行，但分数式在后面学代数式时更常用。

这一节我们干的活，其实很朴素：把你早就会的数量关系，翻译成字母式子。

• 买东西，写成 $c = ab$；
• 走路，写成 $s = vt$；
• 年龄差，写成 $(35+x)-(10+x)=25$；
• 图形，写成 $C = 4a, S = a^2$。

你会发现，字母没有发明任何新数学，它只是给了关系一个简洁、通用、能代入计算的外壳。同一个式子，换一组数字就得到一个新的具体答案——这就是"从具体到一般"的力量。

下一节《什么是代数式？》，我们会给这些"含有字母的式子"一个正式的名字，并学会怎么算它们的值、它们和方程有什么区别。