等式的基本性质

你玩过天平吗？两边各放一些东西，指针指在中间，说明两边一样重。

   指针
    │
  ═══╪═══      ← 天平横梁
   │   │
  [3] [3]      ← 两边各 3 克

这就像等式 $3 = 3$：左边和右边相等。

现在问你：如果我在天平左边加一块 $1$ 克的砝码，要保持平衡，右边必须怎么办？

显然，右边也得加一块 $1$ 克的。否则一边重一边轻，天平就歪了。

把"天平"换成"等式"，道理一模一样：

等式 $3 = 3$，两边同时加上 $1$，得到 $3 + 1 = 3 + 1$，也就是 $4 = 4$，仍然相等。

我们把刚才的发现正式写下来。

注意"同一个数"这四个字——两边加的必须是同一个 $c$。一边加 $2$、一边加 $3$，天平立刻就歪了，等式也不成立了。

来看几个例子，体会一下它怎么用。

你可能会说：这不明摆着吗？——对，正是因为它"明摆着"，我们才敢放心地用它去对付更复杂的方程。

天平还可以这么玩：如果两边一样重，我把两边的砝码都变成原来的 2 倍，天平还平衡吗？

当然平衡——两边一起翻倍，谁也没占便宜。

  翻倍前              翻倍后
  [3] [3]            [3][3] [3][3]
   3 = 3              6 = 6

反过来，如果两边都是偶数克，我可以把两边各取一半，天平也还平衡。但要注意：如果是 $0$ 克，就不能"各除以 0"——除以 $0$ 在数学里是没有意义的（想想看，什么数乘 $0$ 都等于 $0$？答案不唯一，所以除法没法定义）。

于是有了第二条性质。

重点在括号里的 $c \neq 0$：除以 $0$ 是被禁止的。乘以 $0$ 虽然"合法"，但会把两边都变成 $0$，反而丢掉了原来的信息，所以解方程时我们也几乎不会去乘 $0$。

大多数方程不会只用一条性质就解决，而是两条交替上场。比如：

$2x + 3 = 11$

第一步，用性质 1，两边减 $3$，把常数项挪走：

第二步，用性质 2，两边除以 $2$，把 $x$ 前面的系数消掉：

你看，"先减后除"这两步，背后站的正是等式的性质 1 和性质 2。每一步都不是凭感觉，而是有"许可证"的。

性质 2 里"除数不能为 $0$"这条，千万别当耳旁风。

有些方程解着解着会出现除以某个含 $x$ 的式子，比如 $\dfrac{2}{x-1} = 4$，如果两边同时乘 $(x-1)$，就默认了 $x - 1 \neq 0$，也就是 $x \neq 1$。等你解出 $x$ 后，要回头看它有没有踩到这个"禁区"。在初中阶段你遇到的方程通常不至于这么刁钻，但记住这条规矩，能帮你避开以后很多坑。

还有一点：性质里的 $c$ 不仅可以是数，也可以是"同一个整式"（比如同时减去一个 $(x+1)$）。这一点在解更复杂的方程时会用到，现在你先记住"同一个"这个核心要求就行。

这节课我们拿到了解方程的两张"许可证"：

• 性质 1：两边同时加或减同一个数，等式不变；
• 性质 2：两边同时乘或除以同一个非零数，等式不变。

它们的共同精神是：对等式两边做相同的事情，相等关系就不会被破坏。下一节课 解一元一次方程，我们就是把这两条性质组合成一套固定流程，去把任何一元一次方程里的 $x$ 单独解出来。